Регрессия в Excel: уравнение, примеры. Линейная регрессия. Простая линейная регрессия Свойства регрессионной модели
регрессия моделирование статистика mathcad
Главная задача, которая решается с помощью регрессионного анализа, - создание математических моделей некоторых объектов или явлений на основе экспериментов или наблюдений. Эти модели представляют собой определённые математические соотношения между показателями работы объекта или характеристиками наблюдаемого явления и обусловливающими их величинами. Будем называть зависимыми переменными, выходными характеристиками или откликами объекта, а - входными переменными, независимыми характеристиками или факторами. Для одного и того же объекта можно создать множество моделей:
причём каждая описывает лишь один из показателей, интересующих исследователя. В зависимости от целей исследования один и тот же объект с одинаковыми показателями может описываться различными моделями.
Выбор подходящей модели - это в значительной степени искусство, и при определении её вида часто решающую роль играют опыт и знания исследователя. Модель всегда отражает данное явление с некоторым приближением.
Есть и ещё одна причина, по которой модель не отражает протекающее явление абсолютно точно. Всегда есть величины, которые влияют на результаты, но не измеряются во время эксперимента. Часть из них имеет систематический характер и в силу этого может с течением времени вызвать изменения коэффициентов модели. Другая же часть меняется случайным образом, подчиняясь некоторому закону распределения. Такие величины ещё называют случайными возмущениями. В силу их действия повторные опыты при одних и тех же значениях факторов будут давать различные значения зависимой переменной. Модель не может точно учесть влияние случайных возмущений в каждом отдельном измерении, она показывает лишь некоторые усреднённые характеристики.
Следовательно, нет оснований говорить об "истинной" модели в полном смысле слова. Тем не менее, модели с успехом используются на практике. Обычно под "истинным" значением понимают условное математическое ожидание зависимой переменной при заданных значениях факторов:
где Е - знак математического ожидания.
Это равенство называется уравнением регрессии и показывает изменение среднего значения отклика объекта при изменениях факторов. Фактически измеряемая выходная характеристика есть
где - случайное возмущение. Чаще всего принимают, что действие на объект множества случайных возмущений эквивалентно действию одного единственного возмущения с нормальным распределением, нулевым математическим ожиданием и дисперсией. Это предположение выполняется достаточно хорошо для многих практических задач, в которых все случайные возмущения оказывают воздействия, соизмеримые одно с другим. Основанием этому служит центральная предельная теорема теории вероятностей.
Существует большое число различных регрессионных моделей, определяемых конкретным видом функции, где всегда присутствуют некоторые коэффициенты, которые надо определять по экспериментальным данным. В зависимости от того, как эти коэффициенты входят в уравнение регрессии, модели делятся на линейные и нелинейные по параметрам.
Например, модель
- - нелинейна, а
- - линейна.
Под линейной обычно понимают модель, линейную по параметрам. Например, модель
Линейна
по отношению к коэффициентам, не нелинейна по отношению к факторам.
Нередко регрессионные модели представляют полиномами по степеням факторов. Подобное представление опирается на тот факт, что отклики - часто непрерывные функции от факторов и их можно разложить в ряд Тейлора.
Ясно, что все функции, разложимые в ряд Тейлора, можно аппроксимировать полиномами. Это важно отметить, так как полиномами трудно аппроксимировать функции с разрывами, т.е. не имеющие производных. Полиномы не годятся для описания явлений со скачкообразными изменениями выходной характеристики при изменении факторов, функций с гистерезисом, релейных функций и т.п.
Когда исследуется периодический процесс, его наилучшее описание можно получить разложением в ряд Фурье:
где - частота, меняющаяся в пределах. Такие модели используются в электротехнике, геофизике, океанологии, биологии, медицине и других прикладных областях.
Для описания временных характеристик используется ещё так называемая модель распределённого лага:
Это выражение предполагает, что измерения делаются в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал. Через обозначена выходная характеристика в -й момент времени, т.е.
а - та же самая величина, измеренная на тактов раньше; - значение фактора, измеренное с запаздыванием на тактов по отношению к текущему i -му моменту.
В уравнении (1.1) записана одна выходная характеристика, но аналогичные модели можно строить и когда в исследовании участвует несколько откликов. Если для случайных процессов вход явно не определён, то пользуются так называемой моделью авторегрессии:
Моделью авторегрессии, например, описывается изменение числа пассажиров на железнодорожной магистрали через определённое время. Отклик может рассматриваться и как функция некоторого фактора (нескольких факторов), заданного через определённые промежутки времени:
Представление всех моделей в единой форме удобно при организации вычислительных процедур регрессионного анализа, однако, аналогия между моделями разных видов отнюдь не полная. Например, модели (1.2) и (1.3) описывают зависимость выходной характеристики в i -й момент от её значений в предыдущие моменты, а это предполагает зависимость между наблюдениями во времени, которая влечёт за собой значительные изменения как в вычислительной процедуре, так и в статистическом анализе результатов.
Многие нелинейные по параметрам модели линеаризуемы с помощью подходящего преобразования переменных. В биологии, например, используется так называемая логистическая функция, показывающая зависимость доли погибших вредных насекомых
Число погибших насекомых, - общее число насекомых при заданной дозе инсектицида. Логистическая зависимость имеет вид
и говорит о том, что очень маленькие и очень большие дозы яда не приводят к существенному изменению доли погибших насекомых (при очень малых дозах гибнут самые не жизнестойкие, а при очень больших - все).
Если к логистической зависимости применить преобразование
то, как легко проверить, она примет вид
а эта зависимость линейна относительно искомых параметров.
В моделях, которые рассматривались до сих пор, предполагалось, что все независимые переменные могут меняться в заданных интервалах непрерывно. Однако в некоторых задачах часть факторов имеет качественный характер и может принимать только определённые дискретные значения. В этом случае в модель вводят так называемые индикаторные переменные, показывающие, имел ли некоторый фактор в определённом наблюдении заданное значение или нет. Фактор с качественными уровнями можно представить индикаторными переменными, принимающими только значения 0 и 1.
Примером послужит задача построения модели количества газовых пор в сварном шве при аргонодуговой сварке никеля в зависимости от состава покрытия электрода (криолит - , титан - , алюминий -, фтористый натрий -), а также от условий сварки - времени горения - и длины дуги - Длина дуги - качественный фактор, который может принимать только два значения: длинная дуга () и короткая дуга. Линейная по параметрам и факторам модель имеет вид:
причём переменная равна 1 в экспериментах с длинной дугой и 0 - с короткой.
Другой пример индикаторной переменной даёт исследование выхода химической реакции в зависимости от температуры (), давления () и pH раствора (). Опыты проводятся с сырьём, поставляемым фирмами А, В и С. Фирму-поставщик можно рассматривать как фактор с качественными уровнями, принимающими значения. Его влияние можно представить двумя индикаторными переменными и. Вот линейная по параметрам и факторам модель для этого случая:
Если используется сырьё фирмы А, то в этом уравнении полагаем =1, =0, для сырья фирмы В - =0, =1, а для фирмы С - =0 и =0.
В данном случае нельзя было бы выбрать для фирмы С отдельную индикаторную переменную (), поскольку такой выбор всегда приводил бы к равенству
а это - линейная зависимость между переменными, наличие которой приводит к серьёзным вычислительным трудностям.
Индикаторные переменные могут участвовать и в более сложных моделях. Если, например, предполагается, что действие факторов (температура, давление, pH раствора на выход у) зависит и от взаимного влияния между факторами, модель может принять вид:
Могут использоваться и некоторые другие модели. Одни удобнее при описании данных наблюдения определённых явлений, другие дают известные преимущества при обработке данных.
Парная (простая) линейная регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняемой) переменной рассматривается как функция одной независимой (объясняющей) переменной x , т.е. это модель вида:
Так же y называют результативным признаком, а x признаком-фактором.
Знак «^» означает, что между переменными x и y нет строгой функциональной зависимости. Практически в каждом отдельном случае величина y складывается из двух слагаемых:
(4.5)
где y – фактическое значение результативного признака;
– теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из уравнения регрессии;
e – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.
Случайная величина e включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее присутствие в модели порождено тремя источниками: спецификацией модели, выборочным характером исходных данных, особенностями измерения переменных.
Различают линейные и нелинейные регрессии.
Линейная регрессия: y = a + b × x + e .
Нелинейные регрессии делятся на два класса:
ü регрессии,нелинейныеотносительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
ü регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Например:
ü регрессии, нелинейные по объясняющим переменным :
полиномы разных степеней y = a + b × x + b × x 2 + ... + b × x n + e ;
равностронняя гипербола y = a + b /x + e ;
ü регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам :
степенная y = a × x b × e ;
Показательная y = a × b x ×e ;
Экспоненциальная y = e a + bx +e .
Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такиеоценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от теоретических минимальна, т.е.
(4.6)
Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b :
(4.7)
Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают непосредственно из решения этой системы:
(4.8)
где – ковариация признаков x и y,
– дисперсия признака x и
(Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности.)
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции r xy для линейной регрессии(-1£ r xy £1):
(4.9)
и индекс корреляции r xy – для нелинейной регрессии(0£ r xy £ 1):
(4.10)
где – общая дисперсия результативного признака у ;
– остаточная дисперсия, определяемая исходя из уравнения регрессии
Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации r 2 (для линейной регрессии) либо r 2 (для нелинейной регрессии), а также средняя ошибка аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:
(4.11)
Допустимый предел значений – не более 10%.
Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на1%от своего среднего значения:
(4.12)
После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом,так и отдельных егопараметров.
Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F -критерия Фишера , которому предшествует дисперсионный анализ. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной y от среднего значения y раскладывается на две части – « объясненную » и «необъясненную »:
где ∑(y - ) 2 – общая сумма квадратов отклонений;
( - ) 2 – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений);
∑(y – ) 2 – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.
Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в табл. 4.1 (n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x ).
Таблица 4.1
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду (напомним, что степени свободы – это числа, показывающие количество элементов варьирования, которые могут принимать произвольные значения, не изменяющие заданных характеристик). Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F -критерия Фишера:
Фактическое значение F -критерия Фишера сравнивается с табличным значением F табл (a ; k 1 ; k 2) при уровне значимости a и степенях свободы k 1 = m и k 2 = n - m - 1. При этом, если фактическое значение F -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.
Для парной линейной регрессии m = 1, поэтому
(4.15)
Величина F -критерия связана с коэффициентом детерминации r xy 2 , и ее можно рассчитать по следующей формуле:
(4.16)
Для оценки статистической значимости параметров регрессии и корреляции рассчитываются t -критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей.Оценка значимости коэффициентоврегрессии и корреляции с помощью t -критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:
(4.17)
Стандартные ошибки параметров линейной регрессии икоэффициента корреляции определяются по формулам:
|
Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t - статистики – t табл и t факт – делаем вывод о значимости параметров регрессии и корреляции. Если t табл < t факт то параметры a , b и r xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если t табл > t факт , то признается случайная природа формирования a , b или r xy .
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ∆для каждого показателя:
Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:
Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.
Связь между F -критерием Фишера и t -статистикой Стьюдента выражается равенством
В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое индивидуальное значение y 0 как точечный прогноз при x = x 0 ,т.е.путем подстановки в линейное уравнение = a + b × x соответствующего значения x. Однако точечный прогноз явно нереален, поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки
(4.19)
где , и построением доверительного интервала прогнозного значения :
C помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить результаты регрессионной статистики, дисперсионного анализа, доверительных интервалов, остатки и графики подбора линии регрессии.
Если в меню сервис еще нет команды Анализ данных , то необходимо сделать следующее. В главном меню последовательно выбираем Сервис→Надстройки и устанавливаем «флажок» в строке Пакет анализа (рис. 4.1).
1. Если исходные данные уже внесены, то выбираем Сервис→Анализ данных→Регрессия .
2. Заполняем диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 4.2).
Входной интервал Y –диапазон,содержащий данныерезультативного признака;
Входной интервал X –диапазон,содержащий данные признака-фактора;
Метки – «флажок»,который указывает,содержит ли первая строканазвания столбцов;
Рис. 4.1. Строка Пакет анализа
Рис. 4.2. Диалоговое окно ввода данных и параметров вывода
Константа – ноль – «флажок»,указывающий на наличие илиотсутствие свободного члена в уравнении;
Выходной интервал –достаточно указать левую верхнюю ячейкубудущего диапазона;
Новый рабочий лист –можно указать произвольное имя новоголиста (или не указывать, тогда результаты выводятся на вновь созданный лист).
Получаем подобные результаты:
Откуда выписываем, округляя до 4 знаков после запятой и переходя к нашим обозначениям:
Уравнение регрессии:
76,9765+0,9204x .
Коэффициент корреляции:
r xy =0,7210.
Коэффициент детерминации:
r xy 2 =0,5199.
Фактическое значение F -критерия Фишера:
F =10,8280
Остаточная дисперсия на одну степень свободы:
S ост 2 =157, 4922.
Корень квадратный из остаточной дисперсии (стандартная ошибка):
S ост =12,5496.
Стандартные ошибки для параметров регрессии:
m a =24, 2116 , m b =0, 2797.
Фактические значения t -критерия Стьюдента:
t a =3,1793, t b =3,2906.
Доверительные интервалы:
23,0298 £ a * £130,9232,
0,2972 £ b * £ ,5437.
Как видим, найдены все рассмотренные выше параметры и характеристики уравнения регрессии, за исключением средней ошибки аппроксимации (значение t -критерия Стьюдента для коэффициента корреляции совпадает с t b ). Результаты «ручного счета» от машинного отличаются незначительно (отличия связаны с ошибками округления).
4.3. Финансовое моделирование в Excel.
Начиная создавать финансовую модель предприятия, лучше руководствоваться принципом «от простого к сложному», иначе в попытке учесть все нюансы есть риск запутаться в большом количестве формул и ссылок. Поэтому вполне оправдано вначале создать простейшую модель (с минимальным количеством элементов), установить связи общего характера между внешними параметрами (спрос на продукцию, стоимость ресурсов) и внутренними показателями деятельности предприятия (выручка, затраты, денежные потоки и т. д.). В первой итерации можно не заботиться об особой точности задаваемых параметров. На этом этапе важнее установить правильные взаимосвязи между переменными так, чтобы финансовая модель предприятия автоматически пересчитывалась после изменения исходных данных и позволяла выстраивать различные сценарии. Уже после этого можно приступить к ее развитию, детализовать показатели, ввести дополнительные уровни аналитики и т. д.
1) Доходы. Построение финансовой модели в Excel начинается с задания внешних параметров. Отправной точкой для дальнейших расчетов послужит план продаж. ля этого в Excel на одном из листов книги размещается таблица с планом продаж в денежном выражении (табл. 4.1). На этом этапе выручку можно указать «навскидку» или использовать данные прошлого года. Пока точность не имеет большого значения. Позднее при детализации модели план продаж придется доработать.
2) Расходы. Исходя из объема продаж, определяется размер переменных затрат. В самом общем виде расчет может выглядеть следующим образом:
Переменные затраты = Доля в выручке х Объем продаж
Сделаем небольшое допущение и предположим, что в примере переменными являются только затраты на оплату труда – заработная плата сотрудников полностью зависит от объема оказанных услуг, на нее уходит примерно 30 процентов выручки от реализации. Кстати, план затрат удобнее разместить на отдельном листе Excel (табл. 4.2). В нем зарплата рассчитывается помесячно как произведение коэффициента 0,3 (30% / 100%) и плана продаж на определенный месяц. Расходы на аренду и управление вводятся на первом этапе создания финансовой модели предприятия не как расчетные величины, а как фиксированные значения. В дальнейшем при детализации модели их можно будет заменить формулами, увязав с другими показателями.
Таблица 4.1
План продаж в финансовой модели предприятия, тыс. руб.
Таблица 4.2
План затрат в финансовой модели предприятия, тыс. руб.
Не стоит перегружать планы верхнего уровня (баланс, прибыли и убытки, движение денежных средств) показателями. Лучше стремиться к тому, чтобы каждый из них мог уместиться на одном печатном листе. Зачастую трудно удержаться от соблазна расшифровать каждую цифру (например, в плане доходов и расходов расписать выручку по видам продукции, группам клиентов, каналам сбыта и т. п.). Если в план доходов и расходов включить сотню видов готовой продукции и статей затрат, это значительно затруднит его восприятие. Тем не менее с точки зрения информативности полезно подобные планы дополнять различными относительными показателями (например, в баланс внести показатели структуры активов и пассивов (удельные веса статей в валюте баланса), в план доходов и расходов – рентабельность).
В плане доходов и расходов (табл. 4.3) строки «Операционные расходы» и «Операционные доходы» заполняются при помощи ссылок на соответствующие ячейки функциональных планов. Выручка расшифрована по видам услуг, затраты – по статьям. В этом случае такая расшифровка допустима, поскольку не утяжеляет восприятие отчета и не усложняет его анализ. Кроме того, в отчет включены два аналитических показателя – рентабельность (как отношение прибыли к выручке) и прибыль нарастающим итогом. Если понадобится провести более глубокий анализ, в частности, динамики доли оплаты труда в себестоимости услуг, все необходимые для этого расчеты лучше проводить на отдельном листе.
Таблица 4.3
План доходов и расходов в финансовой модели предприятия, тыс. руб.
План движения денежных средств (табл. 4.4) в нашем примере формируется со следующими допущениями.
Таблица 4.4
План движения денежных средств, тыс. руб.
Первое: разделы «Финансовая деятельность» и «Инвестиционная деятельность» исключены из плана. Предполагается, что предприятие осуществляет только операционную деятельность, не привлекая заемные средства и не осуществляя капитальные вложения. Еще одно допущение. Предприятие оказывает услуги физическим лицам за наличный расчет, а значит, время оказания услуги и ее оплаты совпадает – в итоге у предприятия нет дебиторской задолженности. Ситуация с платежами по операционной деятельности не так однозначна. Зарплата и аренда выплачиваются в месяце, следующем за месяцем начисления, а управленческие расходы – в месяце их осуществления.Последнее, что остается сделать, – создать прогнозный баланс (табл. 4.5). Данные по оборотам за период берутся из ПДР и ПДДС, начальные остатки – из баланса за предыдущий период (здесь допустимо ручное внесение информации).
Таблица 4.5
Прогнозный баланс, тыс. руб.
Построенная таким образом финансовая модель обозначает основные группы показателей, характеризующих деятельность предприятия (доходы, расходы, денежные средства и т. п.), увязывает их в три сводных плана. Даже эту простейшую на первый взгляд модель можно использовать для сценарного анализа. В частности, если исключить из плана продаж услугу № 1(соответствующую строку удалять не нужно, достаточно проставить по ней нули), то можно увидеть, насколько ухудшатся показатели рентабельности и ликвидности.
Чтобы превратить модель в полноценный инструмент сценарного анализа, потребуется «насытить» ее аналитикой, детализировать исходную информацию до показателей, которыми можно управлять на практике. Например, в случае с предприятием, оказывающим услуги, очевидна необходимость детализации плана продаж, внесенного ранее в модель в денежном выражении. Выручку по каждому виду услуг можно рассчитать как произведение цены единицы услуги и количества указанных услуг. На практике, естественно, план продаж формируется исходя из конъюнктуры рынка, ожидаемого спроса, предполагаемой цены реализации, достигнутых договоренностей с ключевыми клиентами, запланированных маркетинговых мероприятий, ценовой и кредитной политики и т. д.
Аналогично детализируются и другие исходные данные. Например, арендную плату можно было бы разложить на площадь арендуемого помещения и стоимость одного квадратного метра, зарплату расписать по сотрудникам, управленческие расходы разбить по видам. В итоге функциональность финансовой модели предприятия развивается до такого уровня, что можно увидеть, как влияет изменение любого, даже самого незначительного параметра на конечный результат.
Сверстать подробную финансовую модель предприятия – задача интересная, но сложная. Потребуется скрупулезно изучить и адекватно математически описать существующие взаимосвязи как внутрипроизводственных процессов, так и внешних факторов. Силами одной финансовой службы такую модель не сделать, понадобится участие всех служб предприятия – от департамента продаж до бухгалтерии.
Использование финансовой модели при планировании деятельности помогает увидеть, как те или иные планы развития отражаются на структуре активов, пассивов, доходов и расходов предприятия, а также определить, от каких факторов в наибольшей степени зависят будущая прибыль, ликвидность и финансовая устойчивость. Модель служит скорее инструментом мониторинга текущей ситуации на предприятии и выработки адекватной финансовой политики.
Финансовую модель предприятия стоит использовать в процессе бюджетирования сразу же после утверждения плана продаж. Если план продаж «прогнать» через модель, то полученный финансовый результат можно показать акционерам, чтобы установить целевые значения по затратам, прибыли, дивидендам. Если планируемая выручка не обеспечивает необходимой прибыли с точки зрения акционеров, прямо в модели корректируются влияющие показатели. Окончательный вариант расчетов модели определяет целевые значения бюджетных лимитов для всех центров финансовой ответственности. В течение года финансовую модель предпредприятия можно будет корректировать, проставлять по пройденным месяцам фактические данные вместо плановых и контролировать таким образом финансовые результаты, отслеживать негативные тенденции и четко понимать, к чему они приведут предприятие.
Финансовая модель в Excel дает возможность:
Спланировать деятельность по проекту, внести ясность в соотношение его эффективности и планируемых затрат на его реализацию;
Проанализировать финансовые показатели проекта, такие как как NPV, IRR, PBP, WACC и др.;
Вводить и анализировать любые изменения в проект.
К преимуществам использования моделирования в Excel относится то, что получаемая финансовая модель гибка и понятна. Вы с любой момент можете посмотреть формулу расчета того или иного показателя и изменять исходные данные проекта по своему усмотрению. Еще одно преимущество построения финансовой модели в Excel - то, что все расчеты идут последовательно и обоснованно.
Для построения финансовой модели в Excel необходима следующая информация по проекту:
Баланс компании на последнюю отчетную дату;
Список продуктов, цены, объем продаж, способы оплаты;
Перечень издержек компании, таких как прямые и общие издержки, заработная плата персонала;
Условия финансирования;
Инвестиционный план проекта;
Условия лизинга (если имеется).
Выходами финансовой модели в Excel являются:
Отчет о прибыли и убытках;
Отчет о движении денежных средств;
Финансовые показатели проекта.
16.1 Простая линейная регрессия
Чтобы вызвать регрессионный анализ в SPSS, выберите в меню Analyze... (Анализ) Regression... (Регрессия). Откроется соответствующее подменю.
Рис. 16.1:
При изучении линейного регрессионного анализа снова будут проведено различие между простым анализом (одна независимая переменная) и множественным анализом (несколько независимых переменных). Никаких принципиальных отличий между этими видами регрессии нет, однако простая линейная регрессия является простейшей и применяется чаще всех остальных видов.
Этот вид регрессии лучше всего подходит для того, чтобы продемонстрировать основополагающие принципы регрессионного анализа. Рассмотрим пример из раздела корреляционный анализ с зависимостью показателя холестерина спустя один месяц после начала лечения от исходного показателя. Можно легко заметить очевидную связь: обе переменные развиваются в одном направлении и множество точек, соответствующих наблюдаемым значениям показателей, явно концентрируется (за некоторыми исключениями) вблизи прямой (прямой регрессии). В таком случае говорят о линейной связи.
у = b х + а
,
где b - регрессионные коэффициенты, a - смещение по оси ординат (OY).
Смещение по оси ординат соответствует точке на оси Y (вертикальной оси), где прямая регрессии пересекает эту ось. Коэффициент регрессии b через соотношение:
b = tg(a)
- указывает на угол наклона прямой.
При проведении простой линейной регрессии основной задачей является определение параметров b и а. Оптимальным решением этой задачи является такая прямая, для которой сумма квадратов вертикальных расстояний до отдельных точек данных является минимальной.
Если мы рассмотрим показатель холестерина через один месяц (переменная chol1
) как зависимую переменную (у), а исходную величину как независимую переменную (х),
то тогда для проведения регрессионного анализа нужно будет определить параметры соотношения:
chol1 = b chol0 + a
После определения этих параметров, зная исходный показатель холестерина, можно спрогнозировать показатель, который будет через один месяц.
Расчёт уравнения регрессии
Выберите в меню Analyze... (Анализ) Regression...(Регрессия) Linear... (Линейная). Появится диалоговое окно Linear Regression (Линейная регрессия).
Перенесите переменную chol1 в поле для зависимых переменных и присвойте переменной chol0 статус независимой переменной.
Ничего больше не меняя, начните расчёт нажатием ОК.
Рис.16.2
Вывод основных результатов выглядит следующим образом:
Model Summary (Сводная таблица по модели)
Model (Модель) | R | R Square (R-квадрат) | Adjusted R Square (Скорректир. R-квадрат) | Std. Error of the Estimate (Стандартная ошибка оценки) |
1 | ,861 а | ,741 | ,740 | 25,26 |
а. Predictors: (Constant), Cholesterin, Ausgangswert (Влияющие переменные: (константы), холестерин, исходная величина)
Model (Модель) | Sum of Squares (Сумма Квадратов) | df | Mean Square (Среднее значение квадрата) | F | Sig. (Значимость) | |
1 | Regression (Регрессия) | 314337,948 | 1 | 314337,9 | 492,722 | ,000 a |
Residual (Остатки) | 109729,408 | 172 | 637,962 | |||
Total (Сумма) | 424067,356 | 173 |
a. Predictors: (Constant), Cholesterin, Ausgangswert (Влияющие переменные: (константа), холестерин, исходная величина).
b. Dependent Variable: Cholesterin, nach 1 Monat (Зависимая переменная холестерин через 1 месяц)
Coefficients (Коэффициенты) а
Model (Модель) | Unstandardized Coefficients |
t | Sig. (Значимость) | |||
B | Std: Error (Станд. ошибка) |
ß (Beta) | ||||
1 | (Constant) (Константа) | 34,546 | 9,416 | 3,669 | ,000 | |
Cholesterin, Ausgangswert | ,863 | ,039 | ,861 | 22,197 | ,000 |
a. Dependent Variable (Зависимая переменная)
Рассмотрим сначала нижнюю часть результатов расчётов. Здесь выводятся коэффициент регрессии b и смещение по оси ординат а под именем "константа". То есть, уравнение регрессии выглядит следующим образом:
chol1 = 0,863 chol0 + 34,546
Если значение исходного показателя холестерина составляет, к примеру, 280, то через один месяц можно ожидать показатель равный 276.
Частные рассчитанных коэффициентов и их стандартная ошибка дают контрольную величину Т; соответственный уровень значимости относится к существованию ненулевых коэффициентов регрессии. Значение коэффициента ß будет рассмотрено при изучении многомерного анализа .
Средняя часть расчётов отражает два источника дисперсии: дисперсию, которая описывается уравнением регрессии (сумма квадратов, обусловленная регрессией) и дисперсию, которая не учитывается при записи уравнения (остаточная сумма квадратов). Частное от суммы квадратов, обусловленных регрессией и остаточной суммы квадратов называется "коэфициентом детерминации". В таблице результатов это частное выводится под именем "R-квадрат". В нашем примере мера определённости равна:
314337,948 / 424067,356 = 0,741
Эта величина характеризует качество регрессионной прямой, то есть степень соответствия между регрессионной моделью и исходными данными. Мера определённости всегда лежит в диапазоне от 0 до 1. Существование ненулевых коэффициентов регрессии проверяется посредством вычисления контрольной величины F, к которой относится соответствующий уровень значимости.
В простом линейном регрессионном анализе квадратный корень из коэфициента детерминации, обозначаемый "R", равен корреляционному коэффициенту Пирсона. При множественном анализе эта величина менее наглядна, нежели сам коэфициент детерминации. Величина "Cмещенный R-квадрат" всегда меньше, чем несмещенный. При наличии большого количества независимых переменных, мера определённости корректируется в сторону уменьшения. Принципиальный вопрос о том, может ли вообще имеющаяся связь между переменными рассматриваться как линейная, проще и нагляднее всего решать, глядя на соответствующую диаграмму рассеяния. Кроме того, в пользу гипотезы о линейной связи говорит также высокий уровень дисперсии, описываемой уравнением регрессии.
И, наконец, стандартизированные прогнозируемые значения и стандартизированные остатки можно предоставить в виде графика. Вы получите этот график, если через кнопку Plots...(Графики) зайдёте в соответствующее диалоговое окно и зададите в нём параметры *ZRESID и *ZPRED в качестве переменных, отображаемых по осям у и х соответственно. В случае линейной регрессии остатки распределяются случайно по обе стороны от горизонтальной нулевой линии.
Сохранение новых переменных
Многочисленные вспомогательные значения, рассчитываемые в ходе построения уравнения регрессии, можно сохранить как переменные и использовать в дальнейших расчётах.
Для этого в диалоговом окне Linear Regression (Линейная регрессия) щёлкните на кнопке Save (Сохранить). Откроется диалоговое окно Linear Regression: Save (Линейная регрессия: Сохранение) как изображено на рисунке 16.3.
Рис. 16.3:
Интересными здесь представляются опции Standardized (Стандартизированные значения) и Unstandardized (Нестандартизированные значения), которые находятся под рубрикой Predicted values (Прогнозируемые величины опции). При выборе опции Не стандартизированные значения будут рассчитывается значения у, которое соответствуют уравнению регрессии. При выборе опции Стандартизированные значения прогнозируемая величина нормализуется. SPSS автоматически присваивает новое имя каждой новообразованной переменной, независимо от того, рассчитываете ли Вы прогнозируемые значения, расстояния, прогнозируемые интервалы, остатки или какие-либо другие важные статистические характеристики. Нестандартизированным значениям SPSS присваивает имена pre_1 (predicted value), pre_2 и т.д., а стандартизированным zpr_l.
Щёлкните в диалоговом окне Linear Regression: Save (Линейная регрессия: Сохранение) в поле Predicted values (Прогнозируемые значения) на опции Unstandardized (Нестандартизированные значения).
В редакторе данных будет образована новая переменная под именем рrе_1 и добавлена в конец списка переменных в файле. Для объяснения значений, находящихся в переменной рrе_1 , возьмём случай 5. Для случая 5 переменная рrе_1 содержит нестандартизированное прогнозируемое значение 263,11289. Это прогнозируемое значение слегка отличается в сторону увеличения от реального показателя содержания холестерина, взятого через один месяц (chol1 ) и равного 260. Нестандартизированное прогнозируемое значение для переменной chol1 , так же как и другие значения переменной рге_1, было вычислено исходя из соответствующего уравнения регрессии.
Если мы в уравнение регрессии:
chol1 = 0,863 chol0 + 34,546
подставим исходное значение для chol0 (265), то получим: chol1 = 0,863 265 + 34,546 = 263,241
Небольшое отклонение от значения, хранящегося в переменной рге_1 объясняется тем, что SPSS использует в расчётах более точные значения, чем те, которые выводятся в окне просмотра результатов.
Добавьте для этого в конец файла hyper.sav , ещё два случая, используя фиктивные значения для переменной chol0. Пусть к примеру, это будут значения 282 и 314.
Мы исходим из того, что нам не известны значения показателя холестерина через месяц после начала лечения, и мы хотим спрогнозировать значение переменной chol1 .
Оставьте предыдущие установки без изменений и проведите новый расчёт уравнения регрессии.
В конце списка переменных добавится переменная рге_2. Для нового добавленного случая (№175) для переменной chol1 будет предсказано значение 277,77567, а для случая №176 - значение 305,37620.
Построение регрессионной прямой
Чтобы на диаграмме рассеяния изобразить регрессионную прямую, поступите следующим образом:
Рис. 16.9:
Выбор осей
Для диаграмм рассеяния часто оказывается необходимой дополнительная корректировка осей. Продемонстрируем такую коррекцию при помощи одного примера. В файле raucher.sav находятся десять фиктивных наборов данных. Переменная konsum указывает на количество сигарет, которые выкуривает один человек в день, а переменная puls на количество времени, необходимое каждому испытуемому для восстановления пульса до нормальной частоты после двадцати приседаний. Как было показано ранее, постройте диаграмму рассеяния с внедрённой регрессионной прямой.
В диалоговом окне Simple Scatterplot (Простая диаграмма рассеяния) перенесите переменную puls в поле оси Y, а переменную konsum - в поле оси X. После соответствующей обработки данных в окне просмотра появится диаграмма рассеяния, изображённая на рисунке 16.10.
Рис. 16.10:
Так как никто не выкуривает минус 10 сигарет в день, точка начала отсчёта оси X является не совсем корректной. Поэтому эту ось необходимо откорректировать.
В окне просмотра Вы увидите откорректированную диаграмму рассеяния (см. рис. 16.13).
Рис. 16.13:
На откорректированной диаграмме рассеяния теперь стало проще распознать начальную точку на оси Y, которая образуется при пересечении с регрессионной прямой. Значение этой точки примерно равно 2,9. Сравним это значение с уравнением регрессии для переменных puls (зависимая переменная) и konsum (независимая переменная). В результате расчёта уравнения регрессии в окне отображения результатов появятся следующие значения:
Coefficients (Коэффициенты) а
Model (Модель) | Unstandardized Coefficients (Не стандартизированные коэффициенты) |
Standardized Coefficients (Стандартизированные коэффициенты) | t | Sig. (Значимость) | ||
B | Std: Error (Станд. ошибка) |
ß (Beta) | ||||
1 | (Constant) (Константа) | 2,871 | ,639 | 4,492 | ,002 | |
tgl. Zigarettenkonsum | ,145 | ,038 | ,804 | 3,829 | ,005 |
a. Dependent Variable: Pulsfrequenz unter 80 (Зависимая переменная: частота пульса ниже 80)
Что дает следующее уравнение регрессии:
puls = 0,145 konsum + 2,871
Константа в вышеприведенном уравнении регрессии (2,871) соответствует точке на оси Y, которая образуется в точке пересечения с регрессионной прямой.
В предыдущих заметках предметом анализа часто становилась отдельная числовая переменная, например, доходность взаимных фондов, время загрузки Web-страницы или объем потребления безалкогольных напитков. В настоящей и следующих заметках мы рассмотрим методы предсказания значений числовой переменной в зависимости от значений одной или нескольких других числовых переменных.
Материал будет проиллюстрирован сквозным примером. Прогнозирование объема продаж в магазине одежды. Сеть магазинов уцененной одежды Sunflowers на протяжении 25 лет постоянно расширялась. Однако в настоящее время у компании нет систематического подхода к выбору новых торговых точек. Место, в котором компания собирается открыть новый магазин, определяется на основе субъективных соображений. Критериями выбора являются выгодные условия аренды или представления менеджера об идеальном местоположении магазина. Представьте, что вы - руководитель отдела специальных проектов и планирования. Вам поручили разработать стратегический план открытия новых магазинов. Этот план должен содержать прогноз годового объема продаж во вновь открываемых магазинах. Вы полагаете, что торговая площадь непосредственно связана с объемом выручки, и хотите учесть этот факт в процессе принятия решения. Как разработать статистическую модель, позволяющую прогнозировать годовой объем продаж на основе размера нового магазина?
Как правило, для предсказания значений переменной используется регрессионный анализ. Его цель - разработать статистическую модель, позволяющую предсказывать значения зависимой переменной, или отклика, по значениям, по крайней мере одной, независимой, или объясняющей, переменной. В настоящей заметке мы рассмотрим простую линейную регрессию - статистический метод, позволяющий предсказывать значения зависимой переменной Y по значениям независимой переменной X . В последующих заметках будет описана модель множественной регрессии, предназначенная для предсказания значений независимой переменной Y по значениям нескольких зависимых переменных (Х 1 , Х 2 , …, X k ).
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Виды регрессионных моделей
где ρ 1 – коэффициент автокорреляции; если ρ 1 = 0 (нет автокорреляции), D ≈ 2; если ρ 1 ≈ 1 (положительная автокорреляции), D ≈ 0; если ρ 1 = -1 (отрицательная автокорреляции), D ≈ 4.
На практике применение критерия Дурбина-Уотсона основано на сравнении величины D с критическими теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k (для простой линейной регрессии k = 1) и уровня значимости α. Если D < d L , гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция); если D > d U , гипотеза не отвергается (то есть автокорреляция отсутствует); если d L < D < d U , нет достаточных оснований для принятия решения. Когда расчётное значение D превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент D , а выражение (4 – D ).
Для вычисления статистики Дурбина-Уотсона в Excel обратимся к нижней таблице на рис. 14 Вывод остатка . Числитель в выражении (10) вычисляется с помощью функции =СУММКВРАЗН(массив1;массив2), а знаменатель =СУММКВ(массив) (рис. 16).
Рис. 16. Формулы расчета статистики Дурбина-Уотсона
В нашем примере D = 0,883. Основной вопрос заключается в следующем - какое значение статистики Дурбина-Уотсона следует считать достаточно малым, чтобы сделать вывод о существовании положительной автокорреляции? Необходимо соотнести значение D с критическими значениями (d L и d U ), зависящими от числа наблюдений n и уровня значимости α (рис. 17).
Рис. 17. Критические значения статистики Дурбина-Уотсона (фрагмент таблицы)
Таким образом, в задаче об объеме продаж в магазине, доставляющем товары на дом, существуют одна независимая переменная (k = 1), 15 наблюдений (n = 15) и уровень значимости α = 0,05. Следовательно, d L = 1,08 и d U = 1,36. Поскольку D = 0,883 < d L = 1,08, между остатками существует положительная автокорреляция, метод наименьших квадратов применять нельзя.
Проверка гипотез о наклоне и коэффициенте корреляции
Выше регрессия применялась исключительно для прогнозирования. Для определения коэффициентов регрессии и предсказания значения переменной Y при заданной величине переменной X использовался метод наименьших квадратов. Кроме того, мы рассмотрели среднеквадратичную ошибку оценки и коэффициент смешанной корреляции. Если анализ остатков подтверждает, что условия применимости метода наименьших квадратов не нарушаются, и модель простой линейной регрессии является адекватной, на основе выборочных данных можно утверждать, что между переменными в генеральной совокупности существует линейная зависимость.
Применение t -критерия для наклона. Проверяя, равен ли наклон генеральной совокупности β 1 нулю, можно определить, существует ли статистически значимая зависимость между переменными X и Y . Если эта гипотеза отклоняется, можно утверждать, что между переменными X и Y существует линейная зависимость. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0: β 1 = 0 (нет линейной зависимости), Н1: β 1 ≠ 0 (есть линейная зависимость). По определению t -статистика равна разности между выборочным наклоном и гипотетическим значением наклона генеральной совокупности, деленной на среднеквадратичную ошибку оценки наклона:
(11) t = (b 1 – β 1 ) / S b 1
где b 1 – наклон прямой регрессии по выборочным данным, β1 – гипотетический наклон прямой генеральной совокупности, , а тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.
Проверим, существует ли статистически значимая зависимость между размером магазина и годовым объемом продаж при α = 0,05. t -критерий выводится наряду с другими параметрами при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к t-статистике – на рис. 18.
Рис. 18. Результаты применения t
Поскольку число магазинов n = 14 (см. рис.3), критическое значение t -статистики при уровне значимости α = 0,05 можно найти по формуле: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;12) = –2,1788, где 0,025 – половина уровня значимости, а 12 = n – 2; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = +2,1788.
Поскольку t -статистика = 10,64 > t U = 2,1788 (рис. 19), нулевая гипотеза Н 0 отклоняется. С другой стороны, р -значение для Х = 10,6411, вычисляемое по формуле =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(D3;12;ИСТИНА), приближенно равно нулю, поэтому гипотеза Н 0 снова отклоняется. Тот факт, что р -значение почти равно нулю, означает, что если бы между размерами магазинов и годовым объемом продаж не существовало реальной линейной зависимости, обнаружить ее с помощью линейной регрессии было бы практически невозможно. Следовательно, между средним годовым объемом продаж в магазинах и их размером существует статистически значимая линейная зависимость.
Рис. 19. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, и 12 степенях свободы
Применение F -критерия для наклона. Альтернативным подходом к проверке гипотез о наклоне простой линейной регрессии является использование F -критерия. Напомним, что F -критерий применяется для проверки отношения между двумя дисперсиями (подробнее см. ). При проверке гипотезы о наклоне мерой случайных ошибок является дисперсия ошибки (сумма квадратов ошибок, деленная на количество степеней свободы), поэтому F -критерий использует отношение дисперсии, объясняемой регрессией (т.е. величины SSR , деленной на количество независимых переменных k ), к дисперсии ошибок (MSE = S Y X 2 ).
По определению F -статистика равна среднему квадрату отклонений, обусловленных регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибки (MSE): F = MSR / MSE , где MSR = SSR / k , MSE = SSE /(n – k – 1), k – количество независимых переменных в регрессионной модели. Тестовая статистика F имеет F -распределение с k и n – k – 1 степенями свободы.
При заданном уровне значимости α решающее правило формулируется так: если F > F U , нулевая гипотеза отклоняется; в противном случае она не отклоняется. Результаты, оформленные в виде сводной таблицы дисперсионного анализа, приведены на рис. 20.
Рис. 20. Таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициента регрессии
Аналогично t -критерию F -критерий выводится в таблицу при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к F -статистике – на рис. 21.
Рис. 21. Результаты применения F -критерия, полученные с помощью Пакета анализа Excel
F-статистика равна 113,23, а р -значение близко к нулю (ячейка Значимость F ). Если уровень значимости α равен 0,05, определить критическое значение F -распределения с одной и 12 степенями свободы можно по формуле F U =F.ОБР(1-0,05;1;12) = 4,7472 (рис. 22). Поскольку F = 113,23 > F U = 4,7472, причем р -значение близко к 0 < 0,05, нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, т.е. размер магазина тесно связан с его годовым объемом продаж.
Рис. 22. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, с одной и 12 степенями свободы
Доверительный интервал, содержащий наклон β 1 . Для проверки гипотезы о существовании линейной зависимости между переменными можно построить доверительный интервал, содержащий наклон β 1 и убедиться, что гипотетическое значение β 1 = 0 принадлежит этому интервалу. Центром доверительного интервала, содержащего наклон β 1 , является выборочный наклон b 1 , а его границами - величины b 1 ± t n –2 S b 1
Как показано на рис. 18, b 1 = +1,670, n = 14, S b 1 = 0,157. t 12 =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = 2,1788. Следовательно, b 1 ± t n –2 S b 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342, или + 1,328 ≤ β 1 ≤ +2,012. Таким образом, наклон генеральной совокупности с вероятностью 0,95 лежит в интервале от +1,328 до +2,012 (т.е. от 1 328 000 до 2 012 000 долл.). Поскольку эти величины больше нуля, между годовым объемом продаж и площадью магазина существует статистически значимая линейная зависимость. Если бы доверительный интервал содержал нуль, между переменными не было бы зависимости. Кроме того, доверительный интервал означает, что каждое увеличение площади магазина на 1 000 кв. футов приводит к увеличению среднего объема продаж на величину от 1 328 000 до 2 012 000 долларов.
Использование t -критерия для коэффициента корреляции. был введен коэффициент корреляции r , представляющий собой меру зависимости между двумя числовыми переменными. С его помощью можно установить, существует ли между двумя переменными статистически значимая связь. Обозначим коэффициент корреляции между генеральными совокупностями обеих переменных символом ρ. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : ρ = 0 (нет корреляции), Н 1 : ρ ≠ 0 (есть корреляция). Проверка существования корреляции:
где r = + , если b 1 > 0, r = – , если b 1 < 0. Тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.
В задаче о сети магазинов Sunflowers r 2 = 0,904, а b 1 - +1,670 (см. рис. 4). Поскольку b 1 > 0, коэффициент корреляции между объемом годовых продаж и размером магазина равен r = +√0,904 = +0,951. Проверим нулевую гипотезу, утверждающую, что между этими переменными нет корреляции, используя t -статистику:
При уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу следует отклонить, поскольку t = 10,64 > 2,1788. Таким образом, можно утверждать, что между объемом годовых продаж и размером магазина существует статистически значимая связь.
При обсуждении выводов, касающихся наклона генеральной совокупности, доверительные интервалы и критерии для проверки гипотез являются взаимозаменяемыми инструментами. Однако вычисление доверительного интервала, содержащего коэффициент корреляции, оказывается более сложным делом, поскольку вид выборочного распределения статистики r зависит от истинного коэффициента корреляции.
Оценка математического ожидания и предсказание индивидуальных значений
В этом разделе рассматриваются методы оценки математического ожидания отклика Y и предсказания индивидуальных значений Y при заданных значениях переменной X .
Построение доверительного интервала. В примере 2 (см. выше раздел Метод наименьших квадратов ) регрессионное уравнение позволило предсказать значение переменной Y X . В задаче о выборе места для торговой точки средний годовой объем продаж в магазине площадью 4000 кв. футов был равен 7,644 млн. долл. Однако эта оценка математического ожидания генеральной совокупности является точечной. для оценки математического ожидания генеральной совокупности была предложена концепция доверительного интервала. Аналогично можно ввести понятие доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X :
где , = b 0 + b 1 X i – предсказанное значение переменное Y при X = X i , S YX – среднеквадратичная ошибка, n – объем выборки, X i - заданное значение переменной X , µ Y | X = X i – математическое ожидание переменной Y при Х = Х i , SSX =
Анализ формулы (13) показывает, что ширина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. При заданном уровне значимости возрастание амплитуды колебаний вокруг линии регрессии, измеренное с помощью среднеквадратичной ошибки, приводит к увеличению ширины интервала. С другой стороны, как и следовало ожидать, увеличение объема выборки сопровождается сужением интервала. Кроме того, ширина интервала изменяется в зависимости от значений X i . Если значение переменной Y предсказывается для величин X , близких к среднему значению , доверительный интервал оказывается уже, чем при прогнозировании отклика для значений, далеких от среднего.
Допустим, что, выбирая место для магазина, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего годового объема продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4000 кв. футов:
Следовательно, средний годовой объем продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4 000 кв. футов, с 95% -ной вероятностью лежит в интервале от 6,971 до 8,317 млн. долл.
Вычисление доверительного интервала для предсказанного значения. Кроме доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X , часто необходимо знать доверительный интервал для предсказанного значения. Несмотря на то что формула для вычисления такого доверительного интервала очень похожа на формулу (13), этот интервал содержит предсказанное значение, а не оценку параметра. Интервал для предсказанного отклика Y X = Xi при конкретном значении переменной X i определяется по формуле:
Предположим, что, выбирая место для торговой точки, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для предсказанного годового объема продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов:
Следовательно, предсказанный годовой объем продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов, с 95%-ной вероятностью лежит в интервале от 5,433 до 9,854 млн. долл. Как видим, доверительный интервал для предсказанного значения отклика намного шире, чем доверительный интервал для его математического ожидания. Это объясняется тем, что изменчивость при прогнозировании индивидуальных значений намного больше, чем при оценке математического ожидания.
Подводные камни и этические проблемы, связанные с применением регрессии
Трудности, связанные с регрессионным анализом:
- Игнорирование условий применимости метода наименьших квадратов.
- Ошибочная оценка условий применимости метода наименьших квадратов.
- Неправильный выбор альтернативных методов при нарушении условий применимости метода наименьших квадратов.
- Применение регрессионного анализа без глубоких знаний о предмете исследования.
- Экстраполяция регрессии за пределы диапазона изменения объясняющей переменной.
- Путаница между статистической и причинно-следственной зависимостями.
Широкое распространение электронных таблиц и программного обеспечения для статистических расчетов ликвидировало вычислительные проблемы, препятствовавшие применению регрессионного анализа. Однако это привело к тому, что регрессионный анализ стали применять пользователи, не обладающие достаточной квалификацией и знаниями. Откуда пользователям знать об альтернативных методах, если многие из них вообще не имеют ни малейшего понятия об условиях применимости метода наименьших квадратов и не умеют проверять их выполнение?
Исследователь не должен увлекаться перемалыванием чисел - вычислением сдвига, наклона и коэффициента смешанной корреляции. Ему нужны более глубокие знания. Проиллюстрируем это классическим примером, взятым из учебников. Анскомб показал, что все четыре набора данных, приведенных на рис. 23, имеют одни и те же параметры регрессии (рис. 24).
Рис. 23. Четыре набора искусственных данных
Рис. 24. Регрессионный анализ четырех искусственных наборов данных; выполнен с помощью Пакета анализа (кликните на рисунке, чтобы увеличить изображение)
Итак, с точки зрения регрессионного анализа все эти наборы данных совершенно идентичны. Если бы анализ был на этом закончен, мы потеряли бы много полезной информации. Об этом свидетельствуют диаграммы разброса (рис. 25) и графики остатков (рис. 26), построенные для этих наборов данных.
Рис. 25. Диаграммы разброса для четырех наборов данных
Диаграммы разброса и графики остатков свидетельствуют о том, что эти данные отличаются друг от друга. Единственный набор, распределенный вдоль прямой линии, - набор А. График остатков, вычисленных по набору А, не имеет никакой закономерности. Этого нельзя сказать о наборах Б, В и Г. График разброса, построенный по набору Б, демонстрирует ярко выраженную квадратичную модель. Этот вывод подтверждается графиком остатков, имеющим параболическую форму. Диаграмма разброса и график остатков показывают, что набор данных В содержит выброс. В этой ситуации необходимо исключить выброс из набора данных и повторить анализ. Метод, позволяющий обнаруживать и исключать выбросы из наблюдений, называется анализом влияния. После исключения выброса результат повторной оценки модели может оказаться совершенно иным. Диаграмма разброса, построенная по данным из набора Г, иллюстрирует необычную ситуацию, в которой эмпирическая модель значительно зависит от отдельного отклика (Х 8 = 19, Y 8 = 12,5). Такие регрессионные модели необходимо вычислять особенно тщательно. Итак, графики разброса и остатков являются крайне необходимым инструментом регрессионного анализа и должны быть его неотъемлемой частью. Без них регрессионный анализ не заслуживает доверия.
Рис. 26. Графики остатков для четырех наборов данных
Как избежать подводных камней при регрессионном анализе:
- Анализ возможной взаимосвязи между переменными X и Y всегда начинайте с построения диаграммы разброса.
- Прежде чем интерпретировать результаты регрессионного анализа, проверяйте условия его применимости.
- Постройте график зависимости остатков от независимой переменной. Это позволит определить, насколько эмпирическая модель соответствует результатам наблюдения, и обнаружить нарушение постоянства дисперсии.
- Для проверки предположения о нормальном распределении ошибок используйте гистограммы, диаграммы «ствол и листья», блочные диаграммы и графики нормального распределения.
- Если условия применимости метода наименьших квадратов не выполняются, используйте альтернативные методы (например, модели квадратичной или множественной регрессии).
- Если условия применимости метода наименьших квадратов выполняются, необходимо проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии и построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика.
- Избегайте предсказывать значения зависимой переменной за пределами диапазона изменения независимой переменной.
- Имейте в виду, что статистические зависимости не всегда являются причинно-следственными. Помните, что корреляция между переменными не означает наличия причинно-следственной зависимости между ними.
Резюме. Как показано на структурной схеме (рис. 27), в заметке описаны модель простой линейной регрессии, условия ее применимости и способы проверки этих условий. Рассмотрен t -критерий для проверки статистической значимости наклона регрессии. Для предсказания значений зависимой переменной использована регрессионная модель. Рассмотрен пример, связанный с выбором места для торговой точки, в котором исследуется зависимость годового объема продаж от площади магазина. Полученная информация позволяет точнее выбрать место для магазина и предсказать его годовой объем продаж. В следующих заметках будет продолжено обсуждение регрессионного анализа, а также рассмотрены модели множественной регрессии.
Рис. 27. Структурная схема заметки
Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 792–872
Если зависимая переменная является категорийной, необходимо применять логистическую регрессию.
До сих нор в оценке статистической связи мы исходили из того, что обе рассматриваемые переменные являются равноправными. В практическом экспериментальном исследовании бывает важно, однако, проследить не только связь двух переменных друг с другом, но также и то, каким образом одна из переменных влияет на другую.
Предположим, нас интересует, возможно ли по результатам контрольной работы, проведенной в середине семестра, предсказать оценку студента на экзамене. Для этого соберем данные, отражающие оценки студентов, полученные на контрольной работе и на экзамене. Возможные данные такого рода представлены в табл. 7.3. Логично предположить, что студент, который лучше подготовился к контрольной работе и получил более высокую оценку, при прочих равных условиях имеет больше шансов получить и более высокую оценку на экзамене. Действительно, коэффициент корреляции между X (оценкой по контрольной работе) и Y (оценкой на экзамене) для данного случая довольно велик (0,55). Однако он вовсе не указывает на то, что оценка на экзамене обусловлена оценкой на контрольной работе. К тому же он нисколько не говорит нам о том, насколько должна измениться оценка на экзамене при соответствующем изменении результата контрольной работы. Для оценки того, каким образом должен изменяться Y при изменении X, скажем, на единицу, необходимо воспользоваться методом простой линейной регрессии.
Таблица 7.3
Оценки группы студентов по общей психологии на контрольной работе (коллоквиуме) и экзамене
на контрольной работе (X ) |
на экзамене (Y ) |
|
Смысл этого метода состоит в следующем.
Если бы коэффициент корреляции между двумя рядами оценок равнялся единице, тогда бы оценка на экзамене просто повторяла оценку на контрольной работе. Предположим, однако, что единицы измерения, которыми пользуется преподаватель для итогового и промежуточного контроля знаний, различны. Например, оценивать уровень текущих знаний в середине семестра можно по числу вопросов, на которые студент дал правильный ответ. В этом случае простое соответствие оценок нс будет выполняться. Но в любом случае будет выполняться соответствие для 2-оценок. Иными словами, если коэффициент корреляции между двумя рядами данных оказывается равным единице, должно выполняться следующее соотношение:
Если коэффициент корреляции оказывается отличным от единицы, тогда ожидаемое значение z Y, которое можно обозначить как , и значение z X должны быть связаны следующим соотношением, полученным с помощью методов дифференциального исчисления:
Выполнив замену значений г исходными значениями X и Υ, получаем следующее соотношение:
Теперь легко найти ожидаемое значение Υ:
(7.10)
Тогда уравнение (7.10) может быть переписано следующим образом:
Коэфициенты А и В в уравнении (7.11) представляет собой коэффициенты линейной регрессии . Коэффициент В показывает ожидаемое изменение зависимой переменной Y при изменении независимой переменной X на одну единицу. В методе простой линейной регрессии он называется наклоном. Применительно к нашим данным (см. табл. 7.3) наклон оказался равным 0,57. Это значит, что студенты, получившие на контрольной работе оценку на один бал выше, имели на экзамене в среднем на 0,57 балла больше остальных. Коэффициент А в уравнении (7.11) называется константой. Он показывает, какая ожидаемая величина зависимой переменной соответствует нулевому значению независимой переменной. Применительно к нашим данным этот параметр не несет никакой смысловой информации. И это довольно распространенное явление в психологических и педагогических исследованиях.
Следует отметить, что в регрессионном анализе независимые X и зависимые Y переменные имеют специальные названия. Так, независимую переменную принято обозначать термином предиктор, а зависимую – критерий.